Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen

Baustein 2 - 3(11)

Aufgaben aus dem Bereich der Biologie

Aufgabe 1: Muskelfasern - von der Reizung bis zum Erreichen der maximalen Spannung

Jeder Muskel des Menschen ist aus vielen Fasern, den Muskelzellen, aufgebaut, die einen Durchmesser von etwa 50mm haben, aber bis zu 15cm lang sein können. Dabei unterscheidet man bei den sogenannten quergestreiften Muskeln des menschlichen Körpers zwei verschiedene Fasertypen:
1.) Die dunklen, langsam reagierenden Muskelfasern - auch Typ-I- oder ST-Fasern (slow twitch = langsam zuckend) genannt - enthalten viel Myoglobin, ein Protein, das den Sauerstoff speichert und der Muskelfaser ihre dunkle Farbe gibt. Die Kontraktionszeit und Erregungsleitfähigkeit der ST-Fasern ist verhältnismäßig gering, dadurch sind die Fasern ermüdungsresistent und gewähren eine gute Ausdauer.
2.) Die hellen, schnell reagierenden Fasern - auch Typ-II- oder FT-Fasern (fast twitch = schnell zuckend) genannt - zeigen eine höhere Erregbarkeit, schnellere Kontraktionen, jedoch sind sie ermüdungsanfälliger. Der Myoglobingehalt der Fasern ist gering, dagegen enthalten die Fasern viele Enzyme für die Milchsäuregärung (vgl. hierzu: Unterricht Biologie 232/22. Jahrg./Februar 1998).

Das Schaubild veranschaulicht nun die Zeit nach Reizung der Muskelfaser bis zum Erreichen der maximalen Spannung für diese beiden Faser-Typen:

(Quelle: UB 232/22. Jahrg./Februar 1998)

Für die Kurve zu den ST-Fasern wollen wir nun die zugehörige Funktionsgleichung einer ganzrationalen Näherungsfunktion f bestimmen. Aus der Tabelle sollen dazu die Näherungswerte übernommen werden:

1.1 Beschreiben Sie mit eigenen Worten den Verlauf der Kurven für die beiden Fasertypen!

1.2 Die exakte Bestimmung der Funktionsgleichung zur ST-Kurve erfordert das Lösen eines recht
     großen linearen Gleichungssystems, was an dieser Stelle den Rahmen sprengen würde.

     Stellen Sie die für die Bestimmung von f notwendigen Bedingungen auf !
     
     Stellen Sie auch für die gefundenen Bedingungen das zugehörige lineare Gleichungssystem auf !

     Das Lösen des gefundenen Gleichungssystems mit DERIVE ist nun nicht verlangt, da die Eingabe           der gewonnenen Gleichungen doch recht mühsam ist. Daher ist der Funktionsterm in der Lösung nur
     angegeben. Vergleichen Sie hierzu auch den DERIVE-File Muskel.mth.